Menu

matematika

TEOREMA PYTHAGORAS (1)

Teorema Pythagoras

0

Teorema Pythagoras adalah salah satu prinsip dasar dalam geometri, khususnya dalam segitiga siku-siku. Teorema ini dinamai menurut matematikawan Yunani kuno, Pythagoras.

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa dalam sebuah segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi lainnya. Secara matematis, jika aaa dan bbb adalah panjang dari kedua sisi yang membentuk sudut siku-siku dan ccc adalah panjang hipotenusa, maka:

a2+b2=c2

Teorema ini sangat berguna dalam berbagai aplikasi, baik dalam matematika murni maupun dalam praktik sehari-hari, seperti dalam pengukuran jarak dan perencanaan geometris. Apakah ada aspek khusus dari teorema ini yang ingin kamu ketahui lebih lanjut?

Tripel Pythagoras adalah sekelompok tiga bilangan bulat positif (a,b,c) yang memenuhi persamaan:

a2+b2=c2

Di mana a, b, dan c masing-masing adalah sisi dari segitiga siku-siku, dengan c sebagai sisi miring atau hipotenusa. Tripel ini disebut “Pythagorean triplets”.

A. Tripel Pythagoras yang Terkenal

  1. (3, 4, 5)

Bukti: 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52

  1. (5, 12, 13)

Bukti: 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132

  1. (7, 24, 25):

Bukti: 72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252

  1. (8, 15, 17):

Bukti: 82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172

B. Pembuktian Teorema Pythagoras

  • Pembuktian Aljabar: Menggunakan identitas aljabar dan manipulasi aljabar.
  • Pembuktian Geometris: Dengan membagi segitiga dan menggunakan prinsip area dari bentuk-bentuk yang lebih sederhana.
  • Pembuktian dengan Kesamaan Segitiga: Menggunakan kesamaan segitiga untuk membandingkan sisi dan sudut.

Masing-masing metode ini memberikan cara yang unik dan bermanfaat untuk memahami dan mengonfirmasi kebenaran Teorema Pythagoras.

Penerapan Teorema Pythagoras Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Teorema Pythagoras memiliki berbagai penerapan yang berguna dalam kehidupan sehari-hari serta dalam berbagai bidang ilmu dan teknik. Berikut beberapa contohnya:

  1. Pengukuran Jarak:
    • Navigasi dan Pemetaan: untuk menentukan jarak langsung antara dua titik di peta, jika diketahui jarak horizontal dan vertikal antara kedua titik.
    • GPS dan Sistem Lokasi: dalam sistem GPS digunakan untuk menghitung jarak antara titik-titik berdasarkan koordinat mereka.
  2. Arsitektur dan Desain:
    • Menentukan Sudut dan Ukuran: dalam desain bangunan atau struktur dapat membantu memastikan bahwa sudut-sudutnya adalah siku-siku dengan memeriksa proporsi sisi-sisinya.
    • Perencanaan Ruang: untuk merancang ruangan atau furnitur agar sesuai dengan ukuran tertentu dan memastikan ukurannya tepat.
  3. Teknik dan Konstruksi:
    • Mengukur Ketinggian: untuk mengukur ketinggian objek tanpa langsung mengukurnya, seperti pohon atau gedung dengan mengukur jarak dari titik pengamatan dan sudut pengamatan.
    • Pembuatan Bingkai: saat membuat bingkai atau struktur berbentuk segi empat dapat membantu memastikan bahwa bingkai tersebut lurus dan segi empatnya tepat siku-siku.
  4. Ilmu Komputer:
    • Grafik dan Pemrograman: dalam pengembangan grafis komputer, digunakan untuk menghitung jarak antara titik-titik pada layar atau dalam ruang 3D.
    • Algoritma dan Data: dalam analisis data dan algoritma digunakan untuk menghitung jarak Euclidean antara titik-titik dalam ruang multidimensi.
  5. Olahraga dan Permainan:
    • Strategi Permainan: dalam beberapa olahraga atau permainan, seperti golf atau bowling, digunakan untuk merencanakan strategi atau menghitung jarak tempuh.
    • Pelatihan dan Teknik: digunakan untuk menghitung jarak tempuh dan merencanakan rute.
  6. Astronomi:
    • Pengukuran Jarak Antar Bintang: digunakan dalam berbagai pengukuran dan perhitungan jarak antara objek langit.
  7. Geometri dan Matematika:
    • Bentuk dan Ukuran: membantu dalam memecahkan berbagai masalah geometri yang melibatkan segitiga siku-siku dan menentukan panjang sisi yang tidak diketahui.

Dengan berbagai aplikasi ini, teorema Pythagoras membuktikan betapa fundamental dan serbagunanya prinsip matematika ini dalam memahami dan memecahkan masalah di berbagai bidang.

 

TEOREMA PYTHAGORAS oleh EFRIDA DIAN CHESWARA
BARISAN & DERET ARITMATIKA - FASE D (1)

Barisan & Deret Aritmatika

0

Barisan & Deret Aritmatika

Apakah kalian pernah mengatur jadwal belajar atau olah raga dengan interval waktu tertentu ? misalnya, jadwal sesi belajar atau olah raga meningkat 5 menit setiap hari, atau apakah kalian pernah menyimpan jumlah uang tetap setiap bulan dalam tabungan atau investasi ? misalnya, menabung Rp500.000 setiap bulan.

Durasi belajar atau olah raga yang kalian susun tersebut dapat membentuk sebuah barisan aritmatika. Barisan aritmatika dapat digunakan untuk memastikan bahwa waktu antara belajar atau olah raga meningkat secara konsisten. Sedangkan untuk jumlah uang tetap kalian setiap bulan dalam tabungan atau investasi akan membentuk deret aritmatika.

Pada materi ini kita akan mempelajari pengertian, notasi, rumus, contoh barisan dan deret aritmatika.

A. Barisan Artmatika

  • Pengertian: Barisan aritmatika adalah sebuah urutan angka di mana selisih antara setiap dua bilangan berturut-turut selalu konstan. Selisih ini disebut sebagai beda atau common difference.
  • Notasi: Jika U1 adalah suku pertama dan b adalah beda (selisih), maka barisan aritmatika dapat dituliskan sebagai:

          U1, U2 + b, U3 + b, ….. dan seterusnya

  • Contoh: Dalam barisan 2, 5, 8, 11, 14, …. beda (selisih) adalah 3.
  • Rumus suku ke-n atau Un dalam barisan aritmatika:

          Un = a +(n−1).b

          Di mana:

          Un     : suku ke-n

          A       : suku pertama

          b        : beda atau selisih antar suku

          n        : urutan suku

B. Deret Aritmatika

  • Definisi: Deret aritmatika adalah jumlah dari beberapa suku pertama dari barisan aritmatika.
  • Notasi: Jika kita menjumlahkan n suku pertama dari barisan aritmatika, maka deret aritmatika dituliskan sebagai:

          Sn = U1 + U2 + U3 + …. + Un

  • Rumus Sn atau jumlah dari n suku pertama deret aritmatika:

          Sn = n/2⋅(U1+Un)  atau

          Sn = n/2.[2a+(n−1).b]

          Di mana

          Sn      : jumlah dari n suku pertama

          Un     : suku ke-n

          a        : suku pertama

          b        : beda atau selisih antar suku

          n        : urutan suku

  • Contoh: Jika barisan aritmatika adalah 3, 7, 11, 15, …, maka jumlah 5 suku pertama adalah:

          S5 = 52⋅[2⋅3+(5−1)⋅4]

               = 52⋅[6+16]

               = 52⋅22=55

C. Mengapa Barisan dan Deret Aritmatika Penting?

Barisan dan deret aritmatika sering digunakan dalam berbagai aplikasi matematika dan sains, termasuk dalam perhitungan finansial, perencanaan, dan analisis pola. Dengan memahami konsep ini, kalian dapat mengembangkan keterampilan matematika yang lebih baik dan memecahkan berbagai masalah yang melibatkan urutan dan jumlah.

Barisan dan deret bukan hanya teori matematika, tetapi juga banyak ditemukan dalam berbagai aspek kehidupan sehari-hari. Berikut adalah beberapa contoh nyata dari barisan dan deret yang mungkin kalian temui:

  1. Pola Pembayaran Angsuran
  • Barisan Aritmatika: Dalam sistem pembayaran angsuran pinjaman, cicilan bulanan sering kali tetap, membuatnya menjadi contoh barisan aritmatika. Misalnya, saat membayar angsuran pinjaman sebesar Rp1.000.000 setiap bulan selama 12 bulan, barisan cicilan adalah 1.000.000, 2.000.000, 3.000.000, …, 12.000.000.
  1. Jadwal dan Rutinitas Harian
  • Barisan Aritmatika: Banyak orang mengikuti rutinitas harian yang mengikuti pola waktu tertentu. Misalnya, jika berolahraga selama 15 menit sehari dan meningkatkan durasinya sebesar 5 menit setiap minggu, maka waktu olahraga membentuk barisan aritmatika: 15 menit, 20 menit, 25 menit, dan seterusnya.
  1. Pola Desain dan Karya Seni
  • Deret Aritmatika dan Geometri: Dalam desain grafis, seni, atau pola tekstil, sering kali diterapkan pola yang berulang dengan jarak atau ukuran tertentu. Misalnya, pola geometris dalam ubin keramik sering mengikuti pola deret aritmatika atau geometri untuk menciptakan desain yang simetris dan estetik.
  1. Struktur Pertumbuhan Tanaman
  • Deret Fibonacci: Banyak tanaman menunjukkan pola pertumbuhan yang mengikuti deret Fibonacci. Misalnya, jumlah kelopak bunga pada beberapa bunga, jumlah spiral pada kerucut pinus, dan pola daun pada batang dapat mengikuti urutan Fibonacci.
  1. Penjadwalan Proyek
  • Barisan Aritmatika: Dalam perencanaan proyek, fase-fase pekerjaan yang memerlukan alokasi sumber daya atau waktu yang meningkat secara teratur sering kali mengikuti barisan aritmatika. Misalnya, jika proyek memerlukan 1 jam pada minggu pertama, 2 jam pada minggu kedua, dan seterusnya, maka alokasi waktu membentuk barisan aritmatika.
  1. Akumulasi Tabungan
  • Deret Aritmatika: Jika menyimpan jumlah uang tetap setiap bulan dalam tabungan atau investasi. Misalnya, jika menabung Rp500.000 setiap bulan, jumlah total tabungan selama beberapa bulan membentuk deret yang bisa dihitung menggunakan rumus deret aritmatika.
  1. Urutan Pekerjaan atau Tugas
  • Barisan Aritmatika: Dalam beberapa pekerjaan, tugas-tugas atau beban kerja mungkin meningkat secara bertahap. Misalnya, jika beban tugas meningkat setiap minggu dengan jumlah tertentu, maka beban kerja membentuk barisan aritmatika.
  1. Pembayaran Berulang dalam Berlangganan
  • Barisan Aritmatika: Jika memiliki langganan bulanan untuk layanan atau produk, pembayaran yang dilakukan pada interval waktu tertentu membentuk barisan aritmatika. Misalnya, pembayaran bulanan untuk layanan streaming yang tetap setiap bulan.
  1. Pengukuran dan Kalibrasi
  • Barisan Aritmatika: Dalam pengukuran atau kalibrasi alat, jarak pengukuran yang dilakukan secara berkala sering mengikuti pola tertentu. Misalnya, jarak pengukuran pada alat ukur yang diperiksa secara berkala dapat mengikuti pola barisan aritmatika.
  1. Pertumbuhan Populasi
  • Deret Aritmatika dan Geometri: Pertumbuhan populasi atau jumlah individu dalam kelompok tertentu bisa mengikuti pola deret. Pertumbuhan eksponensial seperti dalam populasi bakteri atau virus sering mengikuti deret geometri.

Penulis: Efrida Dian Cheswara, S.Pd.

 

Materi Barisan & Deret Aritmatika oleh Efrida Dian Cheswara

BARISAN & DERET ARITMATIKA POST oleh EFRIDA DIAN CHESWARA