Barisan & Deret Aritmatika
Barisan & Deret Aritmatika
Apakah kalian pernah mengatur jadwal belajar atau olah raga dengan interval waktu tertentu ? misalnya, jadwal sesi belajar atau olah raga meningkat 5 menit setiap hari, atau apakah kalian pernah menyimpan jumlah uang tetap setiap bulan dalam tabungan atau investasi ? misalnya, menabung Rp500.000 setiap bulan.
Durasi belajar atau olah raga yang kalian susun tersebut dapat membentuk sebuah barisan aritmatika. Barisan aritmatika dapat digunakan untuk memastikan bahwa waktu antara belajar atau olah raga meningkat secara konsisten. Sedangkan untuk jumlah uang tetap kalian setiap bulan dalam tabungan atau investasi akan membentuk deret aritmatika.
Pada materi ini kita akan mempelajari pengertian, notasi, rumus, contoh barisan dan deret aritmatika.
A. Barisan Artmatika
- Pengertian: Barisan aritmatika adalah sebuah urutan angka di mana selisih antara setiap dua bilangan berturut-turut selalu konstan. Selisih ini disebut sebagai beda atau common difference.
- Notasi: Jika U1 adalah suku pertama dan b adalah beda (selisih), maka barisan aritmatika dapat dituliskan sebagai:
U1, U2 + b, U3 + b, ….. dan seterusnya
- Contoh: Dalam barisan 2, 5, 8, 11, 14, …. beda (selisih) adalah 3.
- Rumus suku ke-n atau Un dalam barisan aritmatika:
Un = a +(n−1).b
Di mana:
Un : suku ke-n
A : suku pertama
b : beda atau selisih antar suku
n : urutan suku
B. Deret Aritmatika
- Definisi: Deret aritmatika adalah jumlah dari beberapa suku pertama dari barisan aritmatika.
- Notasi: Jika kita menjumlahkan n suku pertama dari barisan aritmatika, maka deret aritmatika dituliskan sebagai:
Sn = U1 + U2 + U3 + …. + Un
- Rumus Sn atau jumlah dari n suku pertama deret aritmatika:
Sn = n/2⋅(U1+Un) atau
Sn = n/2.[2a+(n−1).b]
Di mana
Sn : jumlah dari n suku pertama
Un : suku ke-n
a : suku pertama
b : beda atau selisih antar suku
n : urutan suku
- Contoh: Jika barisan aritmatika adalah 3, 7, 11, 15, …, maka jumlah 5 suku pertama adalah:
S5 = 52⋅[2⋅3+(5−1)⋅4]
= 52⋅[6+16]
= 52⋅22=55
C. Mengapa Barisan dan Deret Aritmatika Penting?
Barisan dan deret aritmatika sering digunakan dalam berbagai aplikasi matematika dan sains, termasuk dalam perhitungan finansial, perencanaan, dan analisis pola. Dengan memahami konsep ini, kalian dapat mengembangkan keterampilan matematika yang lebih baik dan memecahkan berbagai masalah yang melibatkan urutan dan jumlah.
Barisan dan deret bukan hanya teori matematika, tetapi juga banyak ditemukan dalam berbagai aspek kehidupan sehari-hari. Berikut adalah beberapa contoh nyata dari barisan dan deret yang mungkin kalian temui:
- Pola Pembayaran Angsuran
- Barisan Aritmatika: Dalam sistem pembayaran angsuran pinjaman, cicilan bulanan sering kali tetap, membuatnya menjadi contoh barisan aritmatika. Misalnya, saat membayar angsuran pinjaman sebesar Rp1.000.000 setiap bulan selama 12 bulan, barisan cicilan adalah 1.000.000, 2.000.000, 3.000.000, …, 12.000.000.
- Jadwal dan Rutinitas Harian
- Barisan Aritmatika: Banyak orang mengikuti rutinitas harian yang mengikuti pola waktu tertentu. Misalnya, jika berolahraga selama 15 menit sehari dan meningkatkan durasinya sebesar 5 menit setiap minggu, maka waktu olahraga membentuk barisan aritmatika: 15 menit, 20 menit, 25 menit, dan seterusnya.
- Pola Desain dan Karya Seni
- Deret Aritmatika dan Geometri: Dalam desain grafis, seni, atau pola tekstil, sering kali diterapkan pola yang berulang dengan jarak atau ukuran tertentu. Misalnya, pola geometris dalam ubin keramik sering mengikuti pola deret aritmatika atau geometri untuk menciptakan desain yang simetris dan estetik.
- Struktur Pertumbuhan Tanaman
- Deret Fibonacci: Banyak tanaman menunjukkan pola pertumbuhan yang mengikuti deret Fibonacci. Misalnya, jumlah kelopak bunga pada beberapa bunga, jumlah spiral pada kerucut pinus, dan pola daun pada batang dapat mengikuti urutan Fibonacci.
- Penjadwalan Proyek
- Barisan Aritmatika: Dalam perencanaan proyek, fase-fase pekerjaan yang memerlukan alokasi sumber daya atau waktu yang meningkat secara teratur sering kali mengikuti barisan aritmatika. Misalnya, jika proyek memerlukan 1 jam pada minggu pertama, 2 jam pada minggu kedua, dan seterusnya, maka alokasi waktu membentuk barisan aritmatika.
- Akumulasi Tabungan
- Deret Aritmatika: Jika menyimpan jumlah uang tetap setiap bulan dalam tabungan atau investasi. Misalnya, jika menabung Rp500.000 setiap bulan, jumlah total tabungan selama beberapa bulan membentuk deret yang bisa dihitung menggunakan rumus deret aritmatika.
- Urutan Pekerjaan atau Tugas
- Barisan Aritmatika: Dalam beberapa pekerjaan, tugas-tugas atau beban kerja mungkin meningkat secara bertahap. Misalnya, jika beban tugas meningkat setiap minggu dengan jumlah tertentu, maka beban kerja membentuk barisan aritmatika.
- Pembayaran Berulang dalam Berlangganan
- Barisan Aritmatika: Jika memiliki langganan bulanan untuk layanan atau produk, pembayaran yang dilakukan pada interval waktu tertentu membentuk barisan aritmatika. Misalnya, pembayaran bulanan untuk layanan streaming yang tetap setiap bulan.
- Pengukuran dan Kalibrasi
- Barisan Aritmatika: Dalam pengukuran atau kalibrasi alat, jarak pengukuran yang dilakukan secara berkala sering mengikuti pola tertentu. Misalnya, jarak pengukuran pada alat ukur yang diperiksa secara berkala dapat mengikuti pola barisan aritmatika.
- Pertumbuhan Populasi
- Deret Aritmatika dan Geometri: Pertumbuhan populasi atau jumlah individu dalam kelompok tertentu bisa mengikuti pola deret. Pertumbuhan eksponensial seperti dalam populasi bakteri atau virus sering mengikuti deret geometri.
Penulis: Efrida Dian Cheswara, S.Pd.
